ÁLGEBRA LINEAR I - A -- Turma E2
Semester:
Fall
Offered:
2019 LOCAL : Terças e Quintas 18:30-20:10, Campus Centro - Instituto de Ciências Básicas da Saúde - ICBS - 12101 - PAVIMENTO 02 - Sala 221 do(a) Instituto de Ciências Básicas da Saúde, antiga sala 111A
MONITORIA : Gabriel Roisemberg Rodrigues [Tercas e Quintas, 8-11.30 e 13-14.30] & Hanna Gabrielle P. Lima [Segundas e Sextas 14-16; Tercas e Quintas 14-18] -- Saguao do Predio 43123 (Predio F, Campus do Vale)
Datas Importantes:
12/03 : Inicio do curso
17/03 : CANCELAMENTO DE MATRÍCULA: Data limite para efetuar Cancelamento deMatrícula das disciplinas de 2019/1
07/05 : EXAME 1
02/07 : EXAME 2
09/07 : EXAME DE RECUPERACAO
20/07 : APROPRIAÇÃO DOS CONCEITOS: Data limite para apropriação dos conceitos pelos docentes
22/07 : Divulgação dos CONCEITOS FINAIS de 2019/1
Resumo e Cronologia das aulas:
12/03 : Recados importantes. Trailer do curso : Dois exemplos de (modelagem de) problemas lineares. Sistemas lineares: definicao. Representacao matricial de problemas lineares. Solucoes de sistema linear. Exemplos de sistemas lineares sem solucoes, com infinitas solucoes e com solucao unica. Representacao grafica. Sistemas lineares equivalentes.
14/03 : Recordacao : sistemas lineares e suas solucoes. Exemplos em 2 e 3 dimensoes, com suas correspondentes interpretacoes gometricas (interseccao de retas ou planos). Consequencias lineares de sistemas lineares e sistemas com (exatamente) as mesmas solucoes. Definicao das operacoes basicas em matrizes estendidas : Op1 : permutar linhas; Op. 2 : multiplicar uma linha por um numero nao-nulo; Op. 3: somar a uma linha um multiplo de outra linha. Sistemas equivalentes.
19/03 : Revisao de representacoes de sistemas lineares: forma classica, rep. matricial, matriz estendida e rep. vetorial. Revisao de escalonamento de matrizes. Exemplo de sistema com 5 incognitas e 3 equacoes: as solucoes dependem de dois parametros ('livres'); discussao de quais variaveis podem ser livres e expressao do conjunto solucao em termos de algumas das possiveis escolhas. Exemplo de um sistema com 3 incognitas e 4 equacoes que nao tem solucoes.
21/03 : Matrizes escalonadas e matrizes reduzidas. Exemplos. Objetivo : encontrar uma convencao/forma na qual cada matriz seja equivalente a uma unica matriz dessa forma. Analogia com fatoracao de numeros naturais (que e unica se se convenciona que os primos sao ordenados de modo crescente) Algoritmo 1: produz uma matriz escalonada a partir de uma matriz qualquer. Exemplo. Algoritmo 2: produz uma matriz reduzida a partir de uma matriz escalonada. Exemplo. Teorema : toda matriz e equivalente a uma, e uma unica, matriz reduzida.
RESPOSTAS DOS EXERCICIOS IMPARES DO CAPITULO 1
26/03 : Construcao do conjunto solucao de um sistema a partir da matriz reduzida equivalente. Expressao do conjunto solucao como combinacao linear de vetores. Posto de uma matriz e o numero de parametros necessarios para expressar uma solucao geral.
28/03 : Mapas lineares f:R^n \to R^m. Matrizes n x m como funcoes lineares. Reinterpretacao de sistemas lineares sob essa perspectiva.
02/04 : Revisao de a) modelagem de problema linear; b) as varias maneiras de o representar; c) sistemas equivalentes; d) a matriz reduzida equivalente ao sistema dado; e) escrever o conjunto de solucoes a partir da matriz reduzida; f) verificar que a solucao esta certa; g) descrever as solucoes do sistema original. Revisao tambem da interpretacao de matrizes como funcoes lineares. Exemplo : a matriz de rotacao por um angulo \theta em \R^2. Numeros complexos como plano de bijecoes lineares de \R^2.
04/04 : Nucleo e imagem de mapas lineares. Interpretacao geometrica da solucao de um sistema linear.
09/04 : Matriz associada a funcao linear. Produto matricial como expressao da composicao de funcoes lineares. Aplicacao: cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y) e sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
11/04 : Aula cancelada em funcao das fortes chuvas.
16/04 : Aula de duvidas ! Correcao de exercicios e resolucao de duvidas.
18/04 : Bases e dimensao. Calculo do nucleo e imagem de funcoes lineares, e de bases para subespacos (em termos da matriz reduzida equivalente). Para toda funcao linear f:V \to W, vale
dim V = dim N(f) + \dim I(f).
23/04 : Bases e representacao unica de vetores. Dadas bases B_V de V e B_W de W, toda funcao linear f:V \to W corresponde a uma matriz [f]^{B_V}_{B_W}. Formula de mudanca de base:
[f]^{B'_V}_{B'_W} = [id]^{B_W}_{B'_W}[f]^{B_V}_{B_W}[id]^{B'_V}_{B_V}
Primeiro Simulado do Exame 1 (com respostas!)
25/04 : Correcao do Simulado do Exame 1
30/04 : Bases de espacos vetoriais abstratos. Polinomios e suas bases.
Segundo Simulado do Exame 1 (com respostas!)
02/05 :
07/05 : EXAME 1
09/05 : Correcao do Exame 1, entrega dos exames corrigidos e discussao de resultados
14/05 : Autovalores e autovetores. Polinomio caracteristico. Matrizes diagonalizaveis. Exemplos.
16/05 : Diagonalizacao de funcoes -- exemplos e contraexemplos.
21/05 : Diagonalizacao de funcoes -- exemplos e contraexemplos.
23/05 : Funcoes lineares e matrizes com coeficientes complxos. Teorema fundamental da Algebra. Autovalores e autovetores complexos.
28/05 : Formas bilineares simetricas, definicao. Toda forma bilinear simetrica em \R^n e da forma Q(x,y)=x^TAy com A simetrica. Produtos internos; desigualdade Q(x,y)^2 \leqslant Q(x,x)Q(y,y). Igualdade vale se e so se x e y sao LD. Produto interno usual e outros exemplos. Norma, distancia e comprimento. Conjuntos ortogonais e ortonormais. Lema : conjuntos ortonormais sao LI. Espaco ortogonal a um subespaco. Exemplos.
RESPOSTAS DOS EXERCICIOS IMPARES
30/05 : Aula de duvidas (em virtude da paralisacao) -- Tragam suas duvidas !
04/06 : Bases e projecoes ortogonais. Melhor aproximacao de sistemas lineares. Exemplos
06/06 : Mais sobre formas quadraticas.
11/06 : Numeros complexos como subalgebra de matrizes reais 2 x 2. Produto hermitiano. Matrizes simetricas e ortogonais. Matrizes simetricas reais diagonalizam.
13/06 : Diagonalizacao ortogonal de matrizes simetricas. Exemplos.
18/06 : Tragam suas duvidas sobre o conteudo, exercicios e simulados !! Havendo tempo, vou fazer tambem uma revisao do conteudo da parte 2.
20/06 : Corpus Christi (nao ha aula)
25/06 : Resolucao de duvidas dos simulados e das listas.
27/06 : SIMULADO PARA RESOLVER NO HORARIO DA AULA : TERCEIRO SIMULADO (VERSAO PARA RESOLVER EM AULA)
SOLUCAO QUESTAO 1 DO SIMULADO 1
02/07 : Exame 2
SIMULADO DO EXAME DE RECUPERACAO
04/07 : Entrega e discussao do Exame 2
09/07 : Exame de Recuperacao
10/07 : Entrega dos conceitos finais
