Variedades Diferenciaveis
Offered:
2019 ONDE : A114
QUANDO : TER/QUI as 15.30
BIBLIOGRAFIA:
- R.~Bott, L.~Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics 82, Springer-Verlag New York 1982
- J.~J.~Duistermaat, J.~A.~Kolk, Lie groups, Springer Science \& Business Media (2012)
- R.~L.~Fernandes, Differential geometry, https://faculty.math.illinois.edu/~ruiloja/Math519/notes.pdf
- M.~Golubitsky, V.~Guillemin, Stable mappings and their singularities, Graduate Texts in Mathematics 33, Springer-Verlag New York (1973)
- M.~Hirsch, Differential Topology, Graduate Texts in Mathematics 33, Springer-Verlag New York (1976)
- L.~Loomis, S.~Sternberg, Advanced Calculus, Addison Wesley Publishing, USA (1968)
- I. Marcut, Manifolds. Lecture Notes - Fall 2017, https://www.math.ru.nl/~imarcut/index_files/lectures_2017.pdf
- J.~Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, The University Press of Virginia, Charllottesville, 1965
- J.~Milnor, Lectures on the $h$-Cobordism Theorem, Princeton University Press, 1965
- I.~Moerdijk, J.~Mrcun Introduction to Foliations and Lie Groupoids, Cambridge University Press 2003
- J.~Munkres, Topology, Prentice-Hall, 1975
- F.~Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics 94, Springer-Verlag New York, 1983
20/08 : Topologia 1 : geracao e comparacao de topologias; continuidade.
22/08 : Topologia 2 : Axiomas de separacao. "Tychonoff sse pontos sao fechados" "Hausdorff sse a diagonal e fechada" "Normal sse fechados disjuntos sao separados por funcoes continuas."
27/08 : Topologia 3 : Axiomas de contabilidade. "Espacos segundo-contaveis regulares sao normais." "Espacos Hausdorff, localmente compactos e segundo-contaveis sao paracompactos."
Variedades diferenciaveis 3,6-8, 12
29/08 : Variedades topologicas (partindo de conjuntos ou de espacos topologicos). Dimensao. Variedades diferenciaveis: toda classe de equivalencia de atlas diferencial e representada por um unico atlas diferencial maximal. Mapas suaves. Variedades obtidas por colagem. Exemplo : a reta com origem dupla. Exemplo : a esfera com seu atlas estereografico com duas cartas. Exemplo : espaco projetivo, real e complexo. Exemplo : Grassmanniana de d-planos em um espaco vetorial
03/09 : Espaco tangente como classe de equivalencia de curvas, e sua estrutura natural de espaco vetorial. Mapas suaves induzem mapas lineares entre espacos tangentes. A estrutura canonica de variedade diferenciavel em TM. Generalizacao : a estrutura canonica de variedade diferenciavel em J_r(M,N), ara variedades diferenciaveis M,N e r \geqslant 0.
10/09 : Posto de um mapa suave como funcao lower semicontinuous. Mapas de posto localmente constante. Um mapa suave tem posto localmente constante se e so se tem representacoes locais lineares. Formas normais de imersoes, submersoes, mapas etale. Mergulhos: uma imersao injetora propria e um mergulho. Exemplos de imersoes injetoras que nao sao mergulhos. Imersoes iniciais. Criterio para uma imersao ser inicial. Exemplos e contraexemplos.
12/09 : Subvariedades sao subvariedades iniciais. Exemplo da folheacao de Kronecker no toro. Unicidade da estrutura diiferencial de uma subvariedade inicial. Descricao de subvariedades via: a) mergulhos, b) cartas ambiente adaptadas, c) submersoes locais. Toda variedade compacta mergulha em um espaco afim.
17/09 : Fibrado/variedade cotangente. Formas diferenciais como algebra comutativa. Recordacao sobre algebra graduada: endomorfismos homogeneos e derivacoes. .
19/09 : Formas diferenciais como DGA : produto wedge, produto interior. Pullback de formas diferenciais por mapas suaves; push-forward de campos vetoriais por difeomorfismos.
24/09 : Campos vetoriais como derivacoes de funcoes: \X(M) \simeq \mathrm{Der}C^{\infty}(M), v \mapsto L_v. Usando esse isomorfismo, transferimos a estrutura de algebra de Lie de \mathrm{Der}C^{\infty}(M) para campos vetoriais: parentese de Lie de campos. Extensao de derivadas de Lie L_V a formas de grau qualuer via L_v=[d,i_v]. Calculo de Cartan.
26/09 : Fluxos (locais) de campos vetoriais. Completude e suporte de campos. Interpretacao dinamica da derivada de Lie como velocidade. Multivetores e parentese de Schouten.
01/10 : Densidades. Mapa canonico de integracao de densidades de suporte compacto.
03/10 : Recobrimento duplo de orientacao. Orientacao : atlas positivo / forma volume / secao do recobrimento duplo de orientacao. Integracao de formas de grau maximo em variedades orientadas.
08/10 : Formula magica de Cartan e truque de Moser.
10/10 :
15/10 : Pontos e valores criticos e regulares. Teorema de Sard.
17/10 : Mapas transversos e mapas transversos a subvariedade.
22/10 : Variedades com fronteira e subvariedades supimpa (=neat). Orientacao induzida. Teorema de Stokes.
24/10 : Nao houve aula.
29/10 : Grau de mapas suaves entre variedades compactas orientadas (e grau modulo 2 para variedades compactas sem orientacao).
31/10 : Teoremas classicos de teoria do grau : inexistencia de retracao de uma variedade em sua fronteira. Indice de Hopf-Poincare de campos vetoriais. Caracteristica de Euler.
05/11 : Fibrados e sua descricao em cociclos.
07/11 : Nao houve aula.
11/11 : Limites e colimites. Prefeixes e feixes. O espaco etale de um prefeixe; feixificacao. Exemplos basicos de feixes. Condicao sobre cociclos de um G-fibrado para que determinem fibrados isomorfos. Reinterpretacao em termos de cohomologia de Cech.
